-numeros primos: se pueden dividir entre el y la unidad
-> descomposicion factorial
a( a +b) = (a²+ab)
(x+2)(x+3) = x² +3x +2x +6 = x² +5x+6
x² +4x+4
raiz x² =x
raiz 4=2
( x+2)(x+2) = x² +4x+4
->descomponer en factores o factorizar
1.- a² +2a = a ( a+2)
10b -30b² = 10b( 1 -3b)
3.- a² +2 a(a-b) + (a+b)² = (2a –b)(2 a –b)
a² -2a² -2ab +a² -2ab +b²
4a² -4ab +b²
-> descomposicion factorial
a( a +b) = (a²+ab)
(x+2)(x+3) = x² +3x +2x +6 = x² +5x+6
x² +4x+4
raiz x² =x
raiz 4=2
( x+2)(x+2) = x² +4x+4
->descomponer en factores o factorizar
1.- a² +2a = a ( a+2)
10b -30b² = 10b( 1 -3b)
2.- - x²+4x+3 = (x+1)(x+3)
3.- a² +2 a(a-b) + (a+b)² = (2a –b)(2 a –b)
a² -2a² -2ab +a² -2ab +b²
4a² -4ab +b²
EJERCICIOS DE FACTORIZACION
ejercicio 89
- a²+ab = a(a+b)
- b+b²= b( 1+b)
- x² +x= x(x+1)
- 3a³ -2a²= a² (3a -1)
- 5m² -15m³= 15 m²( 1-3m)
- ab-bc= b( a-c)
- x²y + x² z= x² ( y+z)
- 2a²x +6ax² = 2ax( a+3x)
- 8m² -12mn= 4m ( 2m -3n)
- 9a³x²-18a³= 9x² ( a-2x)
- 15c³d²+60c²d³= 15c²d²(c+4d)
- 35m²n³-70m³= 53m²(n³-2m)
- abc+abc²= abc ( 1+c)
- 4x²-8x+2 =2)=2(2x²-4x+1)
- 2a²x +2ax²-3ax = ax(2a +2x -3)
- a3+a2+a= a(a2+a+1)
- 4x2-8x+2= (2x²-4x+1)
- 15y³+20y²-5y= 5y(3y²+4y-1)
- a³-a²x+ax²= a(a²-ax+x²)
- 2a²x+2ax²-3ax= ax(2a+2x-3)
- x³+x5-x7= x³(1+x²-x4)
- 14x²y²-28x³+56x4= 14x(xy²-2x²+4x³)
- 34ax²+51a²y-68ay²= 17a(2x²+3ay-4y²)
- 96-45mn²+144n³= 48(2-mn²+3n³)
- a²b²c²-a²c²x²+a²c²y²= a²c²(b²-x²+y²)
ejercicio 90
- a(x+1)+b( x+1)= (x+1)(a+b)
- a(a+1)-3(a+1) = (a+1)(x-3)
- a(a+1)+y( a+1) = (a+1)(2+y)
- 2x(n-1) -3y(n-1) = ( n-1)(2x -3y)
- a(n+2) +n+2= (n+2)(a+1)
- -m-n +x ( m+n) = -1(-m-n)+x(m+n)= m+n +x(m+n)= -1(m+n)+x(m+n)= (m+n)(x-1)
- x(2a+b+c) -2a-b-c= x (2a+b+c)-1( -2a-b-c) x( 2a+b+c)-1(2a+b+c)= (2a+b+c)(x+1)
- (x+n)(x+1)+ (x-3)(x+4)= (x-3) (x-4+x +4) = (x+1)(2x)
- 3x(x-1)-2y(x-1)+z(x-1)= (x-1)(3x-2y+z)
- 1-x+2a( 1-x)= 1(1-x) +2a( 1-x)= (1-x)(1-2a)
- 4x(m-n)+n-m= (m-n)( 4x-1)
- -m-n +x( m+n) = (m+n)(x-1)
- 13.-a³(a-b+1)-b²(a-b+1)= (a-b+1)(a³-b²)
- 4m (a² +x -1)+3n(x-1-a²)=
- x(2a+b+c)-2a-b-c= (2a+b+c)(x-1)
- (x+y)(n-1)-3(n+1)= (n+1)(x+y-3)
- (x+1)(x+2)+3y(x-2)= (x-2)(x+1+3y)
- (a+3)(a+1)-4(a+1)= (a+1)(a+3-4)
problemas con numeros fraccionarios y razonamiento deductivo
1.- Sara pidio 100 refrescos de naranja y de cola en una tienda. Los de naranja se los dieron a 60 centavos y los de cola a 50 centavos. Si pago en total 56 pesos.¿Cuantos refrescos de naranja pidio?
R= 60 refrescos de naranja.
2.- 3 cuadrillas de pizcadores levantan una cosecha en 10 dias.¿Cuantos dias harian el mismo trabajo 15 cuadrillas en las mismas condiciones?R=2 dias.
Mario tiene 36 años, hace 14 años tenia el doble de la edad que tenia Ricardo en ese momento. ¿Cuantos años tiene Ricardo?
R=25 años.
3.- Mañana tendre una fiesta en mi casa, Andrea llegara a las 11 pm con sus dos hermanos y se iran a la 1 am. Raul vendra con 4 amigas y llegara a las 10 pm para retirarse a las 2 am, Isabel su hermana y sus respectivos novios quedaron de llegar desde las 9 porque se tienen que ir a las 11 pm. Mi hermano estara conmigo todo el dia.¿Cuantas sillas necesito como minimo para que podamos estar todos sentados durante la fiesta?
R=11 sillas.
Operaciones con fracciones
1.- La señora Garcia compro 4 1/2metros de tela para hacer trapos de cocina, si cada trapo lleva 3/4 de metro de tela.¿Cuantos trapos podra hacer?
R= 16/4 entre 3/4= 6 trapos.
2.-Si un terreno tiene una area de 120 metros cuadrados y otra tiene 320 metros cuadrados. La razon del primero con respecto al segundo es:
R= 1/3.
3.-Un ciclista recorre 90km en 2hrs.¿Cuantos km recorrera en un minuto?R= 3/4 de km
¿Cual es el maximo comun divisor de 72 y 90?R= 18.
Si una hacienda de 320 hectareas tiene cultivado el 85% de su tierra.¿Cuantas hectareas tiene cultivadas?
R= 272 hectareas.
4.-Un terreno de forma rectangular mide el doble de largo que de su ancho y su area es de 128 metros cuadrados.¿Cuales son sus dimensiones?
R= 8x6metros.
5.-¿Cual es la medida de la diagonal de un terreno rectangular cuyas dimensiones son 16x8?
R= 17.88
DIVISION
división de polinomios
2.-Segunda ley: El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.
4.- Cuarta ley:La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores
signos iguales (+) signos diferentes (-)
Dividir el siguiente polinomio:
(3x³ +17x² -8x-12) ÷ (x+6)
Efectuar la siguiente operación por división sintética:
Efectuar la siguiente operación por división sintética
(x4 +7x +5) ÷ (x+2)
1 0 0 7 5
-2 -2 4 -8 2
1 -2 4 -1 7 -->sobrante
x³ +2x² +4x -1 à 7
( x³ -2x² +4x -1) (x+2)
x4 -2x³ +4x –x+2x ³ -4x² -8x -2
x4 -7x -2 +7
x4 -7x +5
nota :
como el dividendo no tiene x³ , x²,, escribimos 0 en los lugares que deben ocupar los coeficientes.
Lo que tenemos que saber:
- ley de los exponentes
- ley de los exponentes
Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
a x a = a2
a x a x a = a3
a x a x a x a x a = a5
Donde a es llamada base y el número escrito arriba y a la derecha del mismo, es llamado exponente.
Ejemplo:
n
Exponente o potencia
Base--> a
El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.
1.- El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
a x a = a2
a x a x a = a3
a x a x a x a x a = a5
Donde a es llamada base y el número escrito arriba y a la derecha del mismo, es llamado exponente.
Ejemplo:
n
Exponente o potenciaBase--> a
El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.
1.- El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
2.-Segunda ley: El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.
2a.- por transitividad:Todo numero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo
3.- tercera ley :La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.
4.- Cuarta ley:La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores
5.-Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente:
- ley de los signos
Las leyes de los signos para operaciones de la multiplicacion se sintetizan en la siguiente tabla.
Las reglas que se obtuvieron para la multiplicación funcionan perfectamente en el caso de la división de los números con signo, como se observa a continuación.
signos iguales (+) signos diferentes (-)
ley en la suma y resta
Dividir el siguiente polinomio:
(3x³ +17x² -8x-12) ÷ (x+6)
División sintética
(3x³ +17x² -8x -12) ÷ (x+6) à cambie el signo
X-a = x+6 entonces a= -6
3 17 -8 -12
-6 -18 +6 +12
3 -1 -2 0
Comprobación
(X+6)(3x² -x-2)
3x³ - x² -2x +18x² -6x -12
3x³ +17x² -8x -12
Efectuar la siguiente operación por división sintética:
Efectuar la siguiente operación por división sintética
(x4 +7x +5) ÷ (x+2)
1 0 0 7 5
-2 -2 4 -8 2
1 -2 4 -1 7 -->sobrante
x³ +2x² +4x -1 à 7
( x³ -2x² +4x -1) (x+2)
x4 -2x³ +4x –x+2x ³ -4x² -8x -2
x4 -7x -2 +7
x4 -7x +5
nota :
como el dividendo no tiene x³ , x²,, escribimos 0 en los lugares que deben ocupar los coeficientes.
EJERCICIOS DE DIVISIONES
I. Efectuar las siguientes operaciones:
1.- .- ( a-b)5 –(a-b)4 ÷(a+b)5
2.- (3x-2)² -2y(3x -2)/ 3x-2
5.- (12pq) ÷ ( -4p²q)
6.-18a ²b³c4 ÷3ab²n
7.- 14a²bc -8a²b²c ÷ 2bc²
9.-( 8c-1)÷(8c-1)
10.- (a+b) ³ ÷ (a+b)²
11.- (2x-7)5÷ (2x-7)7
1.- .- ( a-b)5 –(a-b)4 ÷(a+b)5
2.- (3x-2)² -2y(3x -2)/ 3x-2
5.- (12pq) ÷ ( -4p²q)
6.-18a ²b³c4 ÷3ab²n
7.- 14a²bc -8a²b²c ÷ 2bc²
8.-(-18m+12mn)÷3m
9.-( 8c-1)÷(8c-1)
10.- (a+b) ³ ÷ (a+b)²
11.- (2x-7)5÷ (2x-7)7
12.- 8x4y³z² ÷ 4x²y³ z²
13.-5ab² c4 ÷3ab³ c 5
14.-( 3x²y³z) ÷ ( 6xyz )
utiliza division sitetica , determinar cociente y residuo en cada una de las siguientes divisiones:
1.- (16 a4 -1) ÷ (a -½)
(16a³ +8a² +4a +2) (a -½)
16a4 +8a³ +4a² +2a -8a³ -4a² -2a -1)
(16a4 -1)
(16a³ +8a² +4a +2) (a -½)
16a4 +8a³ +4a² +2a -8a³ -4a² -2a -1)
(16a4 -1)
2.- ( x5 -3x4 +x² -x +2) ÷ (x-2)
X5 –x4 -2x³ -3x²-7x -2x4 +2x³ +4x²+6x +14
X5 +3x4 +x² +14 -12
X5 -3x4 +x -2
3.- 24x6 -11x³ +1)÷ ( x- ½)
( 24x5 +12x4 +6x³ -8x²-4x -2)( x- ½)
24x6 +12x5 +6x4 -8x³ -4x²-2x -12x5 -6x4 -3x³+4x² +2x +1
4x6 -11x³ +1
24x6 +12x5 +6x4 -8x³ -4x²-2x -12x5 -6x4 -3x³+4x² +2x +1
4x6 -11x³ +1
4.- ( 8x5 -3x² -1) ÷ (x- 1)
8x4 +8x³ +8x² +5x +5)( x-1)
8x5 +8x4 +8x³ +5x²+5x -8x4 -8x³-8x²-5x-5
8x5 -3x² -1
5.- 1.- ( 3x²-2x-4) ÷ (x+3)
(3x -8)( x+3)
3x²+9x-8x-24+20
(3x -8)( x+3)
3x²+9x-8x-24+20
6.- (2x4 -x³-18x²-7) ÷ (x+3)
( 2x³ -7x² +3x -9) (x+3)
2x4 -14x³ +3x² -9x +6x³ -21x² +9x -27
2x4 -x³-18x²-7
7.- ( 5x4 -10x -1) ÷ (x+2)
( 5x³ -10x² -20x -50) ( x-1)
5x4 -10x³ +20x² -50x +10x³ -20x² +401x -100
( 5x4 -10x -1)
8.- (4y5 -27y³ -15y² +5) ÷ ( y+1)
( 4y4 -4y³ -23y² -38y -38) ( y-1)
4y5 -4 y4 -23y³ -38y² -38y -4y4 +3y³ +23y² +38y+38-33)
9.- ( 5x4 -10x -1) ÷ (x+2)
( 5x³ -10x² -20x -50) ( x-1)
5x4 -10x³ +20x² -50x +10x³ -20x² +401x -100
( 5x4 -10x -1)
10.- ( 5x4 -10x -1) ÷ (x+2)
( 5x³ -10x² -20x -50) ( x-1)
5x4 -10x³ +20x² -50x +10x³ -20x² +401x -100
( 5x4 -10x -1)
EXAMEN
Trata de resolver el siguiente examen en una hora.
1.-Diga si cada numero dado es entero positivo N+, entero Z, racional Q, o real R.
4.- sustituir en el árbol cuando x=1 y x= -3
Para evaluar la expresión anterior
X=1
(5x²+1)(6x -3)
(5(1)² +1)(6(1)-3)
(5+1)(6-3)
(6)(3)
18
X=-3
(5(-3)+1)(6(-3)-3)
(5(9)+1)(-18 -3)
(45+1)(-21)
(46)(-21)
-966
1.-Diga si cada numero dado es entero positivo N+, entero Z, racional Q, o real R.
343/8____ Q
√7_____Q
-6 _____ Z
21/3______N+
2.-Indique las propiedades utilizadas en cada paso.
4( x+3) -2(x/2 +6) ___ ley del mosquetero
4x +12 – 2x/2- 12 __cancelacion
4x-x __ simplificacion
3x
3.- Marcar la jerarquìa de operadores y hacer el árbol sintáctico.
(5x²+1)(6x-3)
4.- sustituir en el árbol cuando x=1 y x= -3
Para evaluar la expresión anterior
X=1
(5x²+1)(6x -3)
(5(1)² +1)(6(1)-3)
(5+1)(6-3)
(6)(3)
18
X=-3
(5(-3)+1)(6(-3)-3)
(5(9)+1)(-18 -3)
(45+1)(-21)
(46)(-21)
-966
5.- simplificar
a( a -3b)+7(2 a+b)-5b(2 a+b)
a² -3ab +14 a+7b -10ab -5b²
a²- 14 a -13ab+7b-5b²
6.- factorizar el siguiente trinomio
4x²-7x+3
7.- Factorizar utilizando división sintética
7x³-5x²+3x-5
8.- realizar la siguiente ecuación lineal
x/2+3= 5x/3+10
x/2-5x/3=10-3
3x-10x/6=7
-7x/6=7
-7x=7(6)
-7x=42
X=42/-7
X=-6
Comprobación
x/2+3=5(x/3+2)
-6/2+3=5(-6/3+2)
-3+3=5(-2+2)
0=5(0)
0=0
9.-Una mujer tiene $ 15, 000.00 pesos invertidos en dos cuentas y recibe una ganancia de $ 1456.00. si la inversión riesgosa paga 12% y la otra del 8%, determine que cantidad tiene invertida en cada taza?
R= $8600 en la de 8% y $6400 en la de 12%
10.-Un ciclista sale las 12:00 a una velocidad constante de 30 Km. /h, una hora mas tarde sale un automóvil a 50km/h en la misma dirección.¿ A que hora alcanza al ciclista?
R= A las 2:30
EXAMEN 1
1.- Identificar los números si en entero positivo N+,entero Z, racional Q o real R.
5-------------N+
-8 ------------ Z
½ ------------Q
4 ------------- N+
5 -----------N+
-⅔ ----------- Q
3 ------------- N+
-12----------- Z
ℓ ----------- Q
л ----------- Q
2-indique las propiedades utilizadas en cada paso:
5x(x²+2x+7) + 2(-x² -9x) Distributividad
5x³ +10x²+35x-2x²-18x simplificacion
5x³ +8x² -17x
7(X+5)=7x+35 propiedad distributiva
a(b+c)=ab+ac propiedad distributiva
a ² -5a+6b+5a=a ² +6b simplificacion
xyz/z=xy simplificacion
6(x/3-2) = mosqueteroo
6x/3-12=simplificacion
2x-12
4(x+3)-2(x/2+6)= distributuva
4x+12-2x/2-12= ley inverso
4x-x= eliminacion
3x
3.- marcar la jerarquía de operaciones y hacer el árbol sintáctico.
-->(a-2b)(7a +b)
--> (6x +5)(2x²-4x+9)
-->5x³ + 4x² - 6x - 2
5-------------N+
-8 ------------ Z
½ ------------Q
4 ------------- N+
5 -----------N+
-⅔ ----------- Q
3 ------------- N+
-12----------- Z
ℓ ----------- Q
л ----------- Q
2-indique las propiedades utilizadas en cada paso:
5x(x²+2x+7) + 2(-x² -9x) Distributividad
5x³ +10x²+35x-2x²-18x simplificacion
5x³ +8x² -17x
7(X+5)=7x+35 propiedad distributiva
a(b+c)=ab+ac propiedad distributiva
a ² -5a+6b+5a=a ² +6b simplificacion
xyz/z=xy simplificacion
6(x/3-2) = mosqueteroo
6x/3-12=simplificacion
2x-12
4(x+3)-2(x/2+6)= distributuva
4x+12-2x/2-12= ley inverso
4x-x= eliminacion
3x
3.- marcar la jerarquía de operaciones y hacer el árbol sintáctico.
-->(a-2b)(7a +b)
--> (6x +5)(2x²-4x+9)
--> x/5 + 7 (x+1)
-->5x³ + 4x² - 6x - 2
4.- Sustitución
-->X=1
5x³+4x² -6x-2
5(1)³+4(1)²-6(1)-2
5+4-6-2
R=1
-->a=-2
(a+2) [4(a-5)-7(3 a-1)]
(-2+2)[4(-2-5)-7(3(-2)-1)]
[4(-7)-7(-6-1)] [-28+49]
R=21
-->X=-3
5x³+4x²-6x-2
5(-3)³+4(-3)²-6(-3)-2
5(-27)+4(9)+18-2
-135+36+16
-83
-->X=-1
(6x+5)(2x²-4x+9)
(6(-1)+5)(2(-1)²-4(-1)+9)
(-6+5)(2(1)+4+9)
(-1)(2+13)
(-1)(15)
-15
5.- simplificar
-->5x(x-2y)+4[3(x+y)-6y(x-y)+6(3y-y)
5x²-10xy+4[3x+3y-6xy+6y²+18y-6y]
5x²-10xy+4[3x + 21y -6xy -6y²
5x²-10xy+12x+84y-24xy-24y²
5x²-34xy+12x-24y²+84y
-->(a-2b)(7 a+b)- (6 a-5)(a-3)
(a-2b)(7 a+b) - 6 a+5(a-3)
(a-2b)(7 a+b)- 6 a + 5 a -15
7a²- ab -14ab -2b²- 6 a +5 a -15
7a² -13ab -2b² -a -15
-->(a+ 2)(4( a -5)-7(3 a-1)
(a + 2) ( 4 a - 20 - 21 a +7)
(a + 2) ( 17 a -13)
17a² + 13 a + 34 a -26
17a²+21 a-26
-->4x (5x² -6xy+y²)-y(3x²+xy-7y²)
20x³ -24x²y +4xy²- 3x²y - xy² +7y³
20x³ -27x²y+3xy² +7y³
-->(6x +5)(2x²-4x+9)
12x³ -24x² +54x +10x² -20x+45
12x³ -14x² +34x+45
6.- factorizacion
x²+5x+6____ (x+5) (x+1)
3x²+7x+2_____ (3x+1) (x+2)
3x²-14x+8_____ (3x+2) (x+4)
n² -2n-8______(n+2) (n-4)
x²-4x+3_______(x-3)(x-1)
n² +2n -8 _____(n+2) (n-4)
3u²+7uv-6v²_____ (3u-8)(u+3)
7.- division sintetica
--> (3x³+17x² -8x-12) ÷(x+6)
a= -6
3 17 -8 -12
-6 -18 +6 +12
----------------------
3 -1 -2 0
-6x3=-18
-18+17= -1
-6x- 1= 6
-8+6=-2
-6x-2=-12
-12+12=0
Comprobación
(x+6)(3x²-x-2)
3x³ -x² -2x +18x² -6x-12
3x³+17x²-8x-12
--> (2x³-3x²-5x+1) ÷(x-2)
2 -3 -5 +1
2 4 2 -6
------------------
2 1 -3 -5
2x2=4
-3+4=1
2x1=2
-5+2=-3
2x-6=-6
1-6=-5
Comprobación.
(x-2)(2x²+x-3)
2x³ +x²-3x -4x² -2x +6 -5
2x³-3x²-5x+1
8.- ecuación lineal
-->x/7-1=1/7
x/7=1/7-1
x/7=1+7/7
x/7=8/7
x= 8/7(7)
x=56/7
x=7
-->3x/x+2-4=14-4x/x-2
x-2 (3x/x-2)-4(x-2)= (14x-4/x-2)(x-2)
3x-4(x-2)=14-4x
3x-4x+8=14x-4x
3x-4x=3x=14-8
3x=6
X=6/3
X=2
-->2x+3(x-1)= 5-(x-4)
2x+3x-3=5-x+4
2x+3x+x=5+4+3
6x=12
X=12/6
X=2
-->x-7=-9
x=-9+7
x=-2
-8x=6
X=6/-8
X=-3/4
-->-4m+5=-9
-4m=-9-5
-4m=-14
m= -14/-4
m= 7/2
Problemas
1.- una tortuga avanza a una velocidad constante de 2km/h, los dias después sale Aquiles a 20km/h. cuanto tarda en alcanzarla?
2 dias x 24 hr = 48 hr x2 dias= 96 km recorridos
AQUILESS.- 96 km recorridos de la tortuga / 20 km/hr qe va Aquiles = 4.8 hr =
R= 5horas 20 min.
2.-EL CAMPO DE MERIENDA
El otro día fuimos al campo de merienda el viaje de ida lo ise a una velocidad de 60km/h. Y el de vuelta a 30km/h. que velocidad media consegui en el viaje completo?
V=d/t
V=60+60/1+2
V=120/3
V=40km/hr
3.- UN ALTO EN EL CAMINO
Los Gómez y los Arias acuerdan realizo un viaje al almon, parten ala vez de Madrid y fijan el lugar de la primera parada. Llevan esperando 30 min. Los Gómez, cuando llego el coche de los Arias, estos fueron a una velocidad media de 60km/h y los Gómez con una velocidad de 70km/h. a cuantos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada?
v.A 60km/hr.
v.G 70km/hr 70km/h-60km/h=10km/hr la ventaja qe llevan.
los Arias avanzan 30 km por la media hora.
los Arias recorieron 3hr por la media hora que esperaron los Gomez.
R= 70km/hx3h=210 km
210 km esta Madrid de la parada
4.- DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA
Dos ciclistas situados a 60km . de distancia entre so corren en línea recta al encuentro mutuo, ambos a una velocidad de 30km/h. ambos parten a la vez y en el momento de partir, una mosca sale de la frente del segundo ciclista, vuelve a la misma velocidad hasta que al tocar la frente del primer ciclista vuelve al encuentro del segundo y así sucesivamente hasta que ambos ciclistas la aplastan al chocar sus frentes. ¿Cual será la distancia recorrida por el infortunado insecto?
V= 60km/hr
60km/2 ciclistas = 30km recorridos cada uno
En una hora los dos recorrieron los 60km t=1h
Vel. De la mosca v= 45km/hr
D= 45km/1hr
R= D= 45km
-->X=1
5x³+4x² -6x-2
5(1)³+4(1)²-6(1)-2
5+4-6-2
R=1
-->a=-2
(a+2) [4(a-5)-7(3 a-1)]
(-2+2)[4(-2-5)-7(3(-2)-1)]
[4(-7)-7(-6-1)] [-28+49]
R=21
-->X=-3
5x³+4x²-6x-2
5(-3)³+4(-3)²-6(-3)-2
5(-27)+4(9)+18-2
-135+36+16
-83
-->X=-1
(6x+5)(2x²-4x+9)
(6(-1)+5)(2(-1)²-4(-1)+9)
(-6+5)(2(1)+4+9)
(-1)(2+13)
(-1)(15)
-15
5.- simplificar
-->5x(x-2y)+4[3(x+y)-6y(x-y)+6(3y-y)
5x²-10xy+4[3x+3y-6xy+6y²+18y-6y]
5x²-10xy+4[3x + 21y -6xy -6y²
5x²-10xy+12x+84y-24xy-24y²
5x²-34xy+12x-24y²+84y
-->(a-2b)(7 a+b)- (6 a-5)(a-3)
(a-2b)(7 a+b) - 6 a+5(a-3)
(a-2b)(7 a+b)- 6 a + 5 a -15
7a²- ab -14ab -2b²- 6 a +5 a -15
7a² -13ab -2b² -a -15
-->(a+ 2)(4( a -5)-7(3 a-1)
(a + 2) ( 4 a - 20 - 21 a +7)
(a + 2) ( 17 a -13)
17a² + 13 a + 34 a -26
17a²+21 a-26
-->4x (5x² -6xy+y²)-y(3x²+xy-7y²)
20x³ -24x²y +4xy²- 3x²y - xy² +7y³
20x³ -27x²y+3xy² +7y³
-->(6x +5)(2x²-4x+9)
12x³ -24x² +54x +10x² -20x+45
12x³ -14x² +34x+45
6.- factorizacion
x²+5x+6____ (x+5) (x+1)
3x²+7x+2_____ (3x+1) (x+2)
3x²-14x+8_____ (3x+2) (x+4)
n² -2n-8______(n+2) (n-4)
x²-4x+3_______(x-3)(x-1)
n² +2n -8 _____(n+2) (n-4)
3u²+7uv-6v²_____ (3u-8)(u+3)
7.- division sintetica
--> (3x³+17x² -8x-12) ÷(x+6)
a= -6
3 17 -8 -12
-6 -18 +6 +12
----------------------
3 -1 -2 0
-6x3=-18
-18+17= -1
-6x- 1= 6
-8+6=-2
-6x-2=-12
-12+12=0
Comprobación
(x+6)(3x²-x-2)
3x³ -x² -2x +18x² -6x-12
3x³+17x²-8x-12
--> (2x³-3x²-5x+1) ÷(x-2)
2 -3 -5 +1
2 4 2 -6
------------------
2 1 -3 -5
2x2=4
-3+4=1
2x1=2
-5+2=-3
2x-6=-6
1-6=-5
Comprobación.
(x-2)(2x²+x-3)
2x³ +x²-3x -4x² -2x +6 -5
2x³-3x²-5x+1
8.- ecuación lineal
-->x/7-1=1/7
x/7=1/7-1
x/7=1+7/7
x/7=8/7
x= 8/7(7)
x=56/7
x=7
-->3x/x+2-4=14-4x/x-2
x-2 (3x/x-2)-4(x-2)= (14x-4/x-2)(x-2)
3x-4(x-2)=14-4x
3x-4x+8=14x-4x
3x-4x=3x=14-8
3x=6
X=6/3
X=2
-->2x+3(x-1)= 5-(x-4)
2x+3x-3=5-x+4
2x+3x+x=5+4+3
6x=12
X=12/6
X=2
-->x-7=-9
x=-9+7
x=-2
-8x=6
X=6/-8
X=-3/4
-->-4m+5=-9
-4m=-9-5
-4m=-14
m= -14/-4
m= 7/2
Problemas
1.- una tortuga avanza a una velocidad constante de 2km/h, los dias después sale Aquiles a 20km/h. cuanto tarda en alcanzarla?
2 dias x 24 hr = 48 hr x2 dias= 96 km recorridos
AQUILESS.- 96 km recorridos de la tortuga / 20 km/hr qe va Aquiles = 4.8 hr =
R= 5horas 20 min.
2.-EL CAMPO DE MERIENDA
El otro día fuimos al campo de merienda el viaje de ida lo ise a una velocidad de 60km/h. Y el de vuelta a 30km/h. que velocidad media consegui en el viaje completo?
V=d/t
V=60+60/1+2
V=120/3
V=40km/hr
3.- UN ALTO EN EL CAMINO
Los Gómez y los Arias acuerdan realizo un viaje al almon, parten ala vez de Madrid y fijan el lugar de la primera parada. Llevan esperando 30 min. Los Gómez, cuando llego el coche de los Arias, estos fueron a una velocidad media de 60km/h y los Gómez con una velocidad de 70km/h. a cuantos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada?
v.A 60km/hr.
v.G 70km/hr 70km/h-60km/h=10km/hr la ventaja qe llevan.
los Arias avanzan 30 km por la media hora.
los Arias recorieron 3hr por la media hora que esperaron los Gomez.
R= 70km/hx3h=210 km
210 km esta Madrid de la parada
4.- DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA
Dos ciclistas situados a 60km . de distancia entre so corren en línea recta al encuentro mutuo, ambos a una velocidad de 30km/h. ambos parten a la vez y en el momento de partir, una mosca sale de la frente del segundo ciclista, vuelve a la misma velocidad hasta que al tocar la frente del primer ciclista vuelve al encuentro del segundo y así sucesivamente hasta que ambos ciclistas la aplastan al chocar sus frentes. ¿Cual será la distancia recorrida por el infortunado insecto?
V= 60km/hr
60km/2 ciclistas = 30km recorridos cada uno
En una hora los dos recorrieron los 60km t=1h
Vel. De la mosca v= 45km/hr
D= 45km/1hr
R= D= 45km
PROBLEMAS
1.- Una tortuga avanza a una velocidad constante de 2km/hr, dos días después sale Aquiles a 20km/hr .
Cuanto tarda en alcanzarla?
2x24 =48 hr x 2 días = 96km
96 /20 = 4.8 hr = 5.20 min.
2.- La misma tortuga del ejemplo anterior sale a 110 km/hr del maratón donde se encuentra Aquiles. si los dos salen al mismo tiempo con las mismas velocidades.
cuanto tardaran en encontrarse?
3.- Un corredor entra auna velocidad constante de 12km/hr de una pista de 400m.
después de dos vueltas un segundo corredor sale a una velocidad de 16km/h
cuanto tardaran en alcanzarlo ? y en que vuelta?
2.- el campo de merienda
el otro día fuimos al campo de merienda el viaje de ida lo ise a una velocidad media de 60km/h y de vuelta a 30km/hr
que velocidad media conseguí en el viaje completo?
v= 60km/h
t=1hora
v=30km/h
t= 2h0ras
v=d/t
v= 60+(30+30)/(1+2)
v= 120km/3h
vm=40km/h
3.- un alto en el camino
los Gomez y los Arias acuerdan realizar un viaje al alomon. Parten ala vez de Madrid y fijan de la primera parada. llevan esperando .30 min los Gomez , cuando llego el coche de los Arias . estos fueron a una velocidad media de 60km/h y los Gomez con una velocidad de 70km/h.
a cuantos km de Macrid estab la primera parada?
va= 60km/h
vg= 70km/h
60-70=10km/h de diferencia
arias avanzan por media hora
10km /h x3horas =30 km
70km/h x3h = 210km
3.- el esquiador frustado
un esquiador sube en telesilla a 5km/h. A que velocidad tendra que descender esquiando para conseguir una velocidad de 10km/h en el recorrido total?
4.- el avion y el viento
un avion vuela en linea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y acontinuacion regresa tambien en linea recta desde B hasta A. viaja con aire en calma, mateniendo el motor siempre enel mismo regimen. si soplara un fuerte viento de A hacia B y el numero de revoluciones se mantien como antes.
sufrira alguna modificacion el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta?
5.- el bolido y los tres mojones
un automovil pasa frente a un mojón que lleva un kilometrico ABA. una hora despues pasa frente al mojón BA, una hora frente al mojón A0B.
que numeros tienen los mojones y cual es la velocidad (constante) de ida y vuelta?
6.- promediando
un apersona camina al ritmo de 2km/h al subir una cuesta y de 6km/h al bajarla.
cual es la velocidad media para el recorrido total?
2km/h--> subio ___3h
6km/h--> bajo____ 1h
vm = (6 +(3+3))/ 3h+1
vm = 3km/h
7.- dos ciclistas y una mosca
dos ciclistas situados a 60km de distancia entre si corren en linea recta al encuentro mutuo, ambos auna velocidad de 30km/h. Ambos parten ala vez y en el momento de partir, una mosca sale d el afrente del segundo ciclista, vuelve a la mism avelocidad hasta que al tocar la frente del primer ciclista vuelve al encuentro del segundo y asi sucesivamente hasta que ambos ciclistas lo aplastan al chocar sus frentes.
cual sera la distancia recorrida del infortunado insecto?
vc== 30km /hr
d = 60km/h
distancia de cada uno = 30km
tiempo empelado por cada uno de ellos 30min.
duaracion total. 60min=1hr
vm= 45km/h
dm= 45km/1hr
d= 45km
8.- cogio el tren?
un himbre tenia que ir en bicicleta a la estacion , que estaba a12km, a coger el tren. penso lo siguiente: " tengo unahira y media para coger l tren . cuatro kilometros son cuesta arriba , y tendre que hacerlos a pie, a 4km/h; hay cuatro kilometros cuesta abajo, que hare a 12km/h; cuatro kilometros son de carretera llana, que podre hacer a 8km/h . la media es de 8 km/h asi que llegare justo atiempo"
estaba razsonando como es debido?
4km cuesta arriba a v= 4km/hr en 1 hora 1 hr +20min +30min =1.50 min LLEGARIA TARDE
4km cuasta abajo a v= 12km/hr en 20 min
4km a v= 8km/h en 30 min
9.- logro coger el tren?
un tren salio de la estacion con once minutos de retraso , y fue a 10km/h hasta la siguiente estacion y estaba a 1.5 km, y donde hcia la parada de 14.5 minutos. un hombre llego ala primera estacion doce minutos despues de la hora normal de salida del tren, y se dirigio andando ala siguiente estacion a 4km/h, con la ezperanza d epoder llegar a coger el trn alli. lo logro?
1km--> 6min--> 8min------------ 8min + 14.5 = 22.5 min
1km--> 20min--> 14.5min
500m --> 10 min.
10.- adelantamiento y cruce de trenes
un tren de pasajeros lleva una velocidad de 90km/h. tarda el doble de tiempo en pasar a un tren de carga cuando lo alcanza qe cuando se cruza con el. cual e sl avelocidad del tren de carga?
11.- viaje de ida y vuelta
un automovilista ha ido a una ciudad que esta a 300km de distancia. al volver, su velocidad media ha sido superior a la velocidad de ida y ha tardado una hora menos. calcula las velocidades y los tiempos invertidos en la ida y vuelta?
12.- los anuncios de cerveza de la autopista
carlos conducia su automovil a velocidad practicamente costante. iba acompañado de su esposa. - te has dado cuenta- le dijo su mujer-
de los anuncios de cerveza parecen estar espaciados alo largo de la carretera?
me pregunto a cuanta distancia estaran unos de otros.
la señora hecho un vistazo a su reloj de pulsera y conto el numero de anuncios que rebasaban en unminuto.
- ! que raro !- exclamo carlos - si se multiplica es enumero por diez se obtien exactamente nuestra velocidad en kilometro por hora.
admitiendo que la velocidad del coche sea contaste, qu elos anuncios esten igualmente espaciados entre si, y que al empezar y terminar de contar el minuto el coche se encontraba entre dos anuncios,
que distancia los separa?
13.- que distancia esta el colegio?
Una mañana un niño tenía que ir al colegio. El padre dijo al niño, “Si no te das prisa llegarás tarde al colegio”. El chico contestó “Sé perfectamente lo que voy a hacer: Si ando a una media de cuatro kilómetros por hora, llegaré con cinco minutos de retraso, pero si ando a cinco kilómetros por hora llegaré diez minutos antes de la hora de entrada.” ¿A qué distancia está el colegio?
4KM/ H en 5min
5km/hr en 10 min
= 15 min
4km/hr = 1km en 15 min
5km /hr = 1km en 12 min 15-12=3 3x5 = 15 km
14. EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS.
Una tarde mi amigo Andrés remó en barca desde su pueblo hasta el pueblo más cercano y después regresó otra vez hasta su pueblo. El río estaba en calma como si de un lago se tratase. Al día siguiente repitió el mismo recorrido, pero esta vez el río bajaba con cierta velocidad, así que primero tuvo que remar contra corriente pero durante el regreso remaba a favor. ¿Empleó más, menos o el mismo tiempo que el día anterior en dar su acostumbrado paseo en barca?
15. EL ENCONTRONAZO.
Un camión circula a 65 km/h. Tres kilómetros por detrás le sigue un coche a 80 km/h. Manteniendo las respectivas velocidades, si el coche no adelanta al camión es seguro que chocará contra él. ¿A qué distancia estará el coche del camión un minuto antes del choque?
65km -80km = 15 km /hr
1500m/hr
250 m x min
16. LAS NAVES ESPACIALES.
Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 kilómetros por minuto y la otra a 12. Supongamos que en este instante estén separadas exactamente 5000 kilómetros. ¿Cuánto distarán una de la otra un minuto antes del choque?
8km x min + 12 km / min
= 20 km x min
17. EL TREN Y EL HELICÓPTERO.
Un tren sale de Oviedo a las 8 horas con destino a Burgos. Su velocidad media durante el recorrido es de 80 kilómetros por hora. Un helicóptero parte a la misma hora de Burgos, sobrevolando la vía férrea, al encuentro del tren. Su velocidad media es de 400 kilómetros por hora. En el instante en que se encuentran, el helicóptero vuelve a Burgos. Al llegar a esta ciudad cambia el rumbo y se dirige otra vez hacia el tren. Cuando lo encuentra, regresa de nuevo a Burgos. Estos viajes de ida y vuelta los repite el helicóptero sucesivamente hasta que el tren llega a Burgos.
Sabiendo que la distancia Oviedo-Burgos es de 320 km. y suponiendo que el helicóptero no pierde velocidad en los cambios de dirección, ¿cuántos kilómetros recorre el helicóptero?
t --> 80km / jr __ 160 km --> 240 --> 320
h--> 400km/h--> 800---> 1200 ---> 1600 km
18. DEVORANDO KILÓMETROS.
Entre las ciudades A y B se estableció, desde el 1 de enero de 1981, un servicio regular de autobuses. Los cuatro vehículos que diariamente partían de A tenían, respectivamente, los siguientes horarios de salida: 8 h, 10 h, 16 h y 20 h. A las mismas horas, salían de B otros tantos autobuses con destino a la ciudad A.
En cubrir la distancia entre A y B, cada autobús empleaba 3 días. El 4 de marzo de 1981, Carlos subió al autobús de las 8 h, que en ese instante partía de la ciudad A. ¿Con cuántos autobuses se habrá cruzado durante el trayecto hasta llegar a la ciudad B?
8h --> 1
10h--> 1
16h-->1
20h --> 1
r= 11 cruzados +12 de venida = 23 autobuses
19. GANANDO TIEMPO.
Los participantes en una carrera ciclista estaban preparados en la línea de salida. Al darse la señal, el corredor con el dorsal 25 advirtió una avería en la máquina, empleando sus técnicos 4 minutos en subsanarla.
A pesar del retraso, este ciclista ganó la carrera, llegando a la meta 1 hora y 4 minutos después de iniciar su salida en solitario.
Si el tiempo del que llegó en último lugar fue de 1 hora y 12 minutos, ¿cuántos minutos tardó el ganador en dar alcance al “farolillo rojo”? Debe suponerse que las velocidades de cada ciclista son uniformes.
20. ENTRE CIUDADES.
Navegando a favor de la corriente, un vapor desarrolla 20 Km/h navegando en contra, sólo 15 Km/h. En ir desde el embarcadero de la ciudad de Anca hasta el embarcadero de la ciudad de Bora, tarda 5 horas menos que en el viaje de regreso. ¿Qué distancia hay entre Anca y Bora?
1km en 3min
1k en 4 min gana ikm por minuto x km
5h x60min = R300 min x km
21. LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO.
Un gato y un perro entrenados corren una carrera de 100 metros y luego regresan. El perro avanza 3 metros a cada salto y el gato sólo 2, pero el gato da 3 saltos por cada 2 del perro. ¿cuál es el resultados de la carrera?
p 200 m / 3 = 66 satos 198m
g 200 m/3 = 100 saltos 33= 200m recorridos
22. LA VELOCIDAD DEL TREN.
Una joven sube al último vagón de un tren. Como no encuentra asientos libres, deja las maletas en la plataforma y empieza a buscar sitio. En ese momento está pasando frente a la fábrica de “Calzados Pisaplano”. La chica va recorriendo el tren a velocidad constante; cinco minutos más tarde ha llegado al vagón de cabeza y, no encontrando asiento, decide dar la vuelta, regresando al mismo paso hasta su equipaje. En ese momento se encuentra frente a un almacén de pelucas, “Cocoliso, S. L.”, que dista exactamente 5 kilómetros de los “Calzados Pisaplano”. ¿A qué velocidad viaja el tren?
5km en 5 min
5 min
ZAPATOS <------------> pelucas 5,10,15,20,25,30,
5km
23. VIENTO EN CONTRA.
Un ciclista recorre 1 Km. en 3 minutos a favor de viento, y regresa en 4 minutos con viento en contra. Suponiendo que siempre aplica la misma fuerza en los pedales, ¿cuánto tiempo le llevaría recorrer una distancia de 1 Km. si no hubiera viento?
24. INFATIGABLES CORREOS. Dos correos salen simultáneamente, uno de Madrid a Zaragoza el otro de Zaragoza a Madrid. Cada uno lleva una velocidad uniforme. Desde el momento en que se cruzan el primero tarda 9 horas en llegar a Zaragoza y el segundo tarda 16 horas en llegar a Madrid. ¿Cuál es la duración del viaje de cada correo?
25. LOS DOS CICLISTAS.
Dos ciclistas, Juan y Alberto se dirigen al mismo punto. Juan corre a 10 Km/h y Alberto a 12 Km/h. Si Juan sale dos horas antes que Alberto y, sin embargo, éste le alcanza al llegar ambos a su destino, ¿cuánto tiempo ha corrido Alberto y qué distancia en total?
26. SIGUIENDO SU CAMINO.
El presidente de una sociedad que vivía fuera de la ciudad en que se encontraba su despacho, tenía por costumbre tomar el tren de cercanías y que el chófer le recogiese en la estación terminal, trasladándose al despacho en automóvil. Un día cogió un tren anterior al habitual y llegó a la estación con una hora de adelanto. Como, lógicamente, el chófer no estaba, decidió ir andando por el camino habitual hasta encontrarse con su coche cuando fuese a buscarle. Así lo hizo, y de esta forma llegó al despacho con 20 minutos de adelanto. Suponiendo que el chofer llegaba cada día a la estación en el preciso momento de la llegada del tren, se trata de saber cuánto tiempo estuvo andando.
27. LOS DOS VAPORES Y EL RÍO.
Dos vapores parten simultáneamente de las orillas opuestas de un río, en dirección normal a dichas orillas que, por supuesto son paralelas. Al cabo de un cierto tiempo se cruzan a 200 metros de la orilla derecha. Continúan viaje y al llegar a la orilla opuesta cada vapor permanece parado 10 minutos, tras lo cual vuelve a salir en dirección opuesta, cruzándose esta vez a 100 metros de la orilla izquierda. ¿Qué anchura tiene el río?
28. VIAJE BIEN PLANEADO.
Un padre y un hijo han de recorrer una distancia de 50 km. Para ello cuentan con un caballo que puede viajar a 10 km/h, pero no puede llevar más que una persona. El padre camina a razón de 5 km/h y el hijo a 8 km/h. Alternadamente caminan y cabalgan. Cada uno ata el caballo a un árbol, tras cabalgar, para que lo recoja el otro, y continua a pie. De esta forma llegan a la mitad del camino al mismo tiempo, donde reposan media hora y repiten después la misma combinación para llegar simultáneamente al final del trayecto. ¿A qué hora llegarán a su destino si salieron a las 6 de la mañana?
29. RETRASO EN LA ENTREGA.
El encargado de transportes de la sociedad estaba de mal humor. «No voy a poder enviar a tiempo el cargamento. Tengo dos camiones averiados, y como se me han llevado todos los demás, excepto uno, con éste solamente me retrasaré mucho. Si no me hubiesen retirado el resto de la flota de camiones hubiese tardado 8 días, uno más de lo previsto inicialmente, con la totalidad de los camiones, esto es, incluidos los dos averiados. Pero, insisto, con un solo camión me retrasaré… muchas semanas». ¿Cuántas semanas se retrasará?
30. CUESTA ABAJO EN MI RODADA.
Dos pueblos se hallan a una distancia de 10 Km y la carretera que los une es llana, por lo que un automóvil se traslada de uno a otro con velocidad uniforme de 80 km/h, tardando una hora y cuarto en hacer el recorrido. Otros dos pueblos se encuentran, asimismo, a 100 km de distancia, pero 50 son de subida y 50 de bajada, por lo que el mismo automóvil recorre los primeros a 40 km/h y los segundos a 120 km/h. ¿Tardará más o menos en hacer este recorrido que en el primer caso? ¿O tardará igual?
31. UNA CIUDAD CON TRANVÍAS.
Un hombre camina a una velocidad de 6 km/h a lo largo de una calle, por la que circula una cierta línea de tranvías, y cuenta que mientras 4 tranvías le adelantan, 6 se cruzan con él. Suponiendo que el espaciado entre tranvías, así como su velocidad, son uniformes, calcula la velocidad de los tranvías.
32. EL NADADOR EN EL RÍO.
Un nadador tarda 10 minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra corriente, tarda 30 minutos. ¿Cuánto tardaría si no hubiese corriente alguna?
33. VAYA CAMINATA.
Dos ancianas comienzan a andar al amanecer a velocidad constante. Una marcha de A a B y la otra de B a A. Se encuentran a mediodía y, sin parar, llegan respectivamente a B a las 4 de la tarde y a A a las 9 de la noche. ¿Cuándo amaneció aquel día?
34. LUCAS Y SU PAPÁ.
El papá de Lucas lo espera todos los días a la salida de la escuela y lo lleva en auto a la casa. Ayer las clases
terminaron 1 hora antes y como Lucas no le pudo avisar al padre, empezó a caminar hacia su casa hasta que se encontró con su padre. Tardó 1 minuto en subir al auto y girar. Con todo esto, llegó a su casa 9 minutos más temprano que de costumbre. El papá de Lucas maneja siempre a 55 km/h. ¿A qué velocidad camina Lucas?
35. EL ATLETA MATUTINO.
Un atleta sale a correr en su práctica matutina y lo hace a velocidad constante. A las 9:00 horas ha cubierto 1/6 de la distancia total y a las 11:00 horas le falta cubrir 1/3 del total. ¿Qué fracción de la distancia ha recorrido a las 10:30 horas?
36. LA VUELTA A LA MANZANA.
Diego dio una vuelta a una manzana de base cuadrada: Por el primer lado caminó a 4 km/h, por el siguiente caminó a 5 km/h, por el tercero trotó a 10 km/h y por el cuarto corrió a 20 km/h. ¿Cual fue la velocidad promedio de la vuelta completa?
37. DESAFÍO 1.
Un ómnibus con turistas sale de Perdiz Renga en dirección norte. Viaja a 50 km/h y no se detiene hasta llegar a Liebre Tuerta. Otro ómnibus, sale de Perdiz Renga dos horas más tarde que el primero y viaja a 65 km/h. Este ómnibus llega a Liebre Tuerta al mismo tiempo que el primero. ¿Qué distancia hay entre Perdiz Renga y Liebre Tuerta?
38. LOS MARATONIANOS Y EL ENTRENADOR.
Una fila de maratonianos, de 1 km de largo, trota (uno detrás del otro) a lo largo de una larguísima playa, a velocidad constante. Desde el fondo de la fila, sale corriendo a velocidad constante el entrenador hasta alcanzar al primero de fila, hecho lo cual vuelve hasta el último puesto. En ese tiempo, la fila avanzó 1 km, o sea que el último hombre ocupa la posición que ocupaba el primero al empezar la carrera del entrenador. ¿Cuántos metros corrió el entrenador?
39. LA CORRIENTE DEL RÍO.
Un barco se desplaza 5 horas sin interrupción río abajo entre dos ciudades. De vuelta, avanza contracorriente (con su marcha ordinaria y sin detenerse) durante 7 horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?
40. LA PALOMA Y LOS DOS TRENES.
dos trenes avanzan en direcciones contrarias por vías contiguas: uno a 70, y el otro, a 50 kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma vuela de la locomotora del primer tren al segundo, nada más llegar da media vuelta y regresa a la del primero, y así va volando de locomotora en locomotora. Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inició su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido la paloma cuando los dos trenes se encuentran?
Ayuda: ¿Cuánto tiempo ha estado volando la paloma?
41. LOS TRENES QUE SE CRUZAN.
Cada hora sale un tren de la ciudad A a la ciudad B y otro de B a A, y todos los trenes tardan 5 horas en cubrir la distancia entre ambas ciudades. Un viajero que tome uno cualquiera de los trenes, ¿con cuántos trenes se cruzará a lo largo de su viaje? Ayuda: Imagínese al viajero saliendo de A. En ese momento llega un tren de B.
42. EL TREN PUNTUAL.
Mi tren sale a las diez en punto. Si voy a la estación caminando a una velocidad de 4 kilómetros por hora, llego cinco minutos tarde. Si voy corriendo, a 8 kilómetros por hora, llego con diez minutos de adelanto. ¿A qué distancia estoy de la estación? Ayuda: Yendo al doble de velocidad se tarda quince minutos menos.
43. EL CICLISTA PLAYERO.
Un esforzado ciclista se dirige desee una población del interior a la playa, cuesta abajo, a una velocidad de 30 km/h. Al volver a su casa, cuesta arriba, va a 10 km/h. ¿Cuál es la velocidad media del ciclista en el trayecto de ida y vuelta? Ayuda: Téngase en cuenta que tarda más en volver que en ir; luego la velocidad media es simplemente la media de las velocidades.
Cuanto tarda en alcanzarla?
2x24 =48 hr x 2 días = 96km
96 /20 = 4.8 hr = 5.20 min.
2.- La misma tortuga del ejemplo anterior sale a 110 km/hr del maratón donde se encuentra Aquiles. si los dos salen al mismo tiempo con las mismas velocidades.
cuanto tardaran en encontrarse?
3.- Un corredor entra auna velocidad constante de 12km/hr de una pista de 400m.
después de dos vueltas un segundo corredor sale a una velocidad de 16km/h
cuanto tardaran en alcanzarlo ? y en que vuelta?
2.- el campo de merienda
el otro día fuimos al campo de merienda el viaje de ida lo ise a una velocidad media de 60km/h y de vuelta a 30km/hr
que velocidad media conseguí en el viaje completo?
v= 60km/h
t=1hora
v=30km/h
t= 2h0ras
v=d/t
v= 60+(30+30)/(1+2)
v= 120km/3h
vm=40km/h
3.- un alto en el camino
los Gomez y los Arias acuerdan realizar un viaje al alomon. Parten ala vez de Madrid y fijan de la primera parada. llevan esperando .30 min los Gomez , cuando llego el coche de los Arias . estos fueron a una velocidad media de 60km/h y los Gomez con una velocidad de 70km/h.
a cuantos km de Macrid estab la primera parada?
va= 60km/h
vg= 70km/h
60-70=10km/h de diferencia
arias avanzan por media hora
10km /h x3horas =30 km
70km/h x3h = 210km
3.- el esquiador frustado
un esquiador sube en telesilla a 5km/h. A que velocidad tendra que descender esquiando para conseguir una velocidad de 10km/h en el recorrido total?
4.- el avion y el viento
un avion vuela en linea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y acontinuacion regresa tambien en linea recta desde B hasta A. viaja con aire en calma, mateniendo el motor siempre enel mismo regimen. si soplara un fuerte viento de A hacia B y el numero de revoluciones se mantien como antes.
sufrira alguna modificacion el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta?
5.- el bolido y los tres mojones
un automovil pasa frente a un mojón que lleva un kilometrico ABA. una hora despues pasa frente al mojón BA, una hora frente al mojón A0B.
que numeros tienen los mojones y cual es la velocidad (constante) de ida y vuelta?
6.- promediando
un apersona camina al ritmo de 2km/h al subir una cuesta y de 6km/h al bajarla.
cual es la velocidad media para el recorrido total?
2km/h--> subio ___3h
6km/h--> bajo____ 1h
vm = (6 +(3+3))/ 3h+1
vm = 3km/h
7.- dos ciclistas y una mosca
dos ciclistas situados a 60km de distancia entre si corren en linea recta al encuentro mutuo, ambos auna velocidad de 30km/h. Ambos parten ala vez y en el momento de partir, una mosca sale d el afrente del segundo ciclista, vuelve a la mism avelocidad hasta que al tocar la frente del primer ciclista vuelve al encuentro del segundo y asi sucesivamente hasta que ambos ciclistas lo aplastan al chocar sus frentes.
cual sera la distancia recorrida del infortunado insecto?
vc== 30km /hr
d = 60km/h
distancia de cada uno = 30km
tiempo empelado por cada uno de ellos 30min.
duaracion total. 60min=1hr
vm= 45km/h
dm= 45km/1hr
d= 45km
8.- cogio el tren?
un himbre tenia que ir en bicicleta a la estacion , que estaba a12km, a coger el tren. penso lo siguiente: " tengo unahira y media para coger l tren . cuatro kilometros son cuesta arriba , y tendre que hacerlos a pie, a 4km/h; hay cuatro kilometros cuesta abajo, que hare a 12km/h; cuatro kilometros son de carretera llana, que podre hacer a 8km/h . la media es de 8 km/h asi que llegare justo atiempo"
estaba razsonando como es debido?
4km cuesta arriba a v= 4km/hr en 1 hora 1 hr +20min +30min =1.50 min LLEGARIA TARDE
4km cuasta abajo a v= 12km/hr en 20 min
4km a v= 8km/h en 30 min
9.- logro coger el tren?
un tren salio de la estacion con once minutos de retraso , y fue a 10km/h hasta la siguiente estacion y estaba a 1.5 km, y donde hcia la parada de 14.5 minutos. un hombre llego ala primera estacion doce minutos despues de la hora normal de salida del tren, y se dirigio andando ala siguiente estacion a 4km/h, con la ezperanza d epoder llegar a coger el trn alli. lo logro?
1km--> 6min--> 8min------------ 8min + 14.5 = 22.5 min
1km--> 20min--> 14.5min
500m --> 10 min.
10.- adelantamiento y cruce de trenes
un tren de pasajeros lleva una velocidad de 90km/h. tarda el doble de tiempo en pasar a un tren de carga cuando lo alcanza qe cuando se cruza con el. cual e sl avelocidad del tren de carga?
11.- viaje de ida y vuelta
un automovilista ha ido a una ciudad que esta a 300km de distancia. al volver, su velocidad media ha sido superior a la velocidad de ida y ha tardado una hora menos. calcula las velocidades y los tiempos invertidos en la ida y vuelta?
12.- los anuncios de cerveza de la autopista
carlos conducia su automovil a velocidad practicamente costante. iba acompañado de su esposa. - te has dado cuenta- le dijo su mujer-
de los anuncios de cerveza parecen estar espaciados alo largo de la carretera?
me pregunto a cuanta distancia estaran unos de otros.
la señora hecho un vistazo a su reloj de pulsera y conto el numero de anuncios que rebasaban en unminuto.
- ! que raro !- exclamo carlos - si se multiplica es enumero por diez se obtien exactamente nuestra velocidad en kilometro por hora.
admitiendo que la velocidad del coche sea contaste, qu elos anuncios esten igualmente espaciados entre si, y que al empezar y terminar de contar el minuto el coche se encontraba entre dos anuncios,
que distancia los separa?
13.- que distancia esta el colegio?
Una mañana un niño tenía que ir al colegio. El padre dijo al niño, “Si no te das prisa llegarás tarde al colegio”. El chico contestó “Sé perfectamente lo que voy a hacer: Si ando a una media de cuatro kilómetros por hora, llegaré con cinco minutos de retraso, pero si ando a cinco kilómetros por hora llegaré diez minutos antes de la hora de entrada.” ¿A qué distancia está el colegio?
4KM/ H en 5min
5km/hr en 10 min
= 15 min
4km/hr = 1km en 15 min
5km /hr = 1km en 12 min 15-12=3 3x5 = 15 km
14. EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS.
Una tarde mi amigo Andrés remó en barca desde su pueblo hasta el pueblo más cercano y después regresó otra vez hasta su pueblo. El río estaba en calma como si de un lago se tratase. Al día siguiente repitió el mismo recorrido, pero esta vez el río bajaba con cierta velocidad, así que primero tuvo que remar contra corriente pero durante el regreso remaba a favor. ¿Empleó más, menos o el mismo tiempo que el día anterior en dar su acostumbrado paseo en barca?
15. EL ENCONTRONAZO.
Un camión circula a 65 km/h. Tres kilómetros por detrás le sigue un coche a 80 km/h. Manteniendo las respectivas velocidades, si el coche no adelanta al camión es seguro que chocará contra él. ¿A qué distancia estará el coche del camión un minuto antes del choque?
65km -80km = 15 km /hr
1500m/hr
250 m x min
16. LAS NAVES ESPACIALES.
Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 kilómetros por minuto y la otra a 12. Supongamos que en este instante estén separadas exactamente 5000 kilómetros. ¿Cuánto distarán una de la otra un minuto antes del choque?
8km x min + 12 km / min
= 20 km x min
17. EL TREN Y EL HELICÓPTERO.
Un tren sale de Oviedo a las 8 horas con destino a Burgos. Su velocidad media durante el recorrido es de 80 kilómetros por hora. Un helicóptero parte a la misma hora de Burgos, sobrevolando la vía férrea, al encuentro del tren. Su velocidad media es de 400 kilómetros por hora. En el instante en que se encuentran, el helicóptero vuelve a Burgos. Al llegar a esta ciudad cambia el rumbo y se dirige otra vez hacia el tren. Cuando lo encuentra, regresa de nuevo a Burgos. Estos viajes de ida y vuelta los repite el helicóptero sucesivamente hasta que el tren llega a Burgos.
Sabiendo que la distancia Oviedo-Burgos es de 320 km. y suponiendo que el helicóptero no pierde velocidad en los cambios de dirección, ¿cuántos kilómetros recorre el helicóptero?
t --> 80km / jr __ 160 km --> 240 --> 320
h--> 400km/h--> 800---> 1200 ---> 1600 km
18. DEVORANDO KILÓMETROS.
Entre las ciudades A y B se estableció, desde el 1 de enero de 1981, un servicio regular de autobuses. Los cuatro vehículos que diariamente partían de A tenían, respectivamente, los siguientes horarios de salida: 8 h, 10 h, 16 h y 20 h. A las mismas horas, salían de B otros tantos autobuses con destino a la ciudad A.
En cubrir la distancia entre A y B, cada autobús empleaba 3 días. El 4 de marzo de 1981, Carlos subió al autobús de las 8 h, que en ese instante partía de la ciudad A. ¿Con cuántos autobuses se habrá cruzado durante el trayecto hasta llegar a la ciudad B?
8h --> 1
10h--> 1
16h-->1
20h --> 1
r= 11 cruzados +12 de venida = 23 autobuses
19. GANANDO TIEMPO.
Los participantes en una carrera ciclista estaban preparados en la línea de salida. Al darse la señal, el corredor con el dorsal 25 advirtió una avería en la máquina, empleando sus técnicos 4 minutos en subsanarla.
A pesar del retraso, este ciclista ganó la carrera, llegando a la meta 1 hora y 4 minutos después de iniciar su salida en solitario.
Si el tiempo del que llegó en último lugar fue de 1 hora y 12 minutos, ¿cuántos minutos tardó el ganador en dar alcance al “farolillo rojo”? Debe suponerse que las velocidades de cada ciclista son uniformes.
20. ENTRE CIUDADES.
Navegando a favor de la corriente, un vapor desarrolla 20 Km/h navegando en contra, sólo 15 Km/h. En ir desde el embarcadero de la ciudad de Anca hasta el embarcadero de la ciudad de Bora, tarda 5 horas menos que en el viaje de regreso. ¿Qué distancia hay entre Anca y Bora?
1km en 3min
1k en 4 min gana ikm por minuto x km
5h x60min = R300 min x km
21. LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO.
Un gato y un perro entrenados corren una carrera de 100 metros y luego regresan. El perro avanza 3 metros a cada salto y el gato sólo 2, pero el gato da 3 saltos por cada 2 del perro. ¿cuál es el resultados de la carrera?
p 200 m / 3 = 66 satos 198m
g 200 m/3 = 100 saltos 33= 200m recorridos
22. LA VELOCIDAD DEL TREN.
Una joven sube al último vagón de un tren. Como no encuentra asientos libres, deja las maletas en la plataforma y empieza a buscar sitio. En ese momento está pasando frente a la fábrica de “Calzados Pisaplano”. La chica va recorriendo el tren a velocidad constante; cinco minutos más tarde ha llegado al vagón de cabeza y, no encontrando asiento, decide dar la vuelta, regresando al mismo paso hasta su equipaje. En ese momento se encuentra frente a un almacén de pelucas, “Cocoliso, S. L.”, que dista exactamente 5 kilómetros de los “Calzados Pisaplano”. ¿A qué velocidad viaja el tren?
5km en 5 min
5 min
ZAPATOS <------------> pelucas 5,10,15,20,25,30,
5km
23. VIENTO EN CONTRA.
Un ciclista recorre 1 Km. en 3 minutos a favor de viento, y regresa en 4 minutos con viento en contra. Suponiendo que siempre aplica la misma fuerza en los pedales, ¿cuánto tiempo le llevaría recorrer una distancia de 1 Km. si no hubiera viento?
24. INFATIGABLES CORREOS. Dos correos salen simultáneamente, uno de Madrid a Zaragoza el otro de Zaragoza a Madrid. Cada uno lleva una velocidad uniforme. Desde el momento en que se cruzan el primero tarda 9 horas en llegar a Zaragoza y el segundo tarda 16 horas en llegar a Madrid. ¿Cuál es la duración del viaje de cada correo?
25. LOS DOS CICLISTAS.
Dos ciclistas, Juan y Alberto se dirigen al mismo punto. Juan corre a 10 Km/h y Alberto a 12 Km/h. Si Juan sale dos horas antes que Alberto y, sin embargo, éste le alcanza al llegar ambos a su destino, ¿cuánto tiempo ha corrido Alberto y qué distancia en total?
26. SIGUIENDO SU CAMINO.
El presidente de una sociedad que vivía fuera de la ciudad en que se encontraba su despacho, tenía por costumbre tomar el tren de cercanías y que el chófer le recogiese en la estación terminal, trasladándose al despacho en automóvil. Un día cogió un tren anterior al habitual y llegó a la estación con una hora de adelanto. Como, lógicamente, el chófer no estaba, decidió ir andando por el camino habitual hasta encontrarse con su coche cuando fuese a buscarle. Así lo hizo, y de esta forma llegó al despacho con 20 minutos de adelanto. Suponiendo que el chofer llegaba cada día a la estación en el preciso momento de la llegada del tren, se trata de saber cuánto tiempo estuvo andando.
27. LOS DOS VAPORES Y EL RÍO.
Dos vapores parten simultáneamente de las orillas opuestas de un río, en dirección normal a dichas orillas que, por supuesto son paralelas. Al cabo de un cierto tiempo se cruzan a 200 metros de la orilla derecha. Continúan viaje y al llegar a la orilla opuesta cada vapor permanece parado 10 minutos, tras lo cual vuelve a salir en dirección opuesta, cruzándose esta vez a 100 metros de la orilla izquierda. ¿Qué anchura tiene el río?
28. VIAJE BIEN PLANEADO.
Un padre y un hijo han de recorrer una distancia de 50 km. Para ello cuentan con un caballo que puede viajar a 10 km/h, pero no puede llevar más que una persona. El padre camina a razón de 5 km/h y el hijo a 8 km/h. Alternadamente caminan y cabalgan. Cada uno ata el caballo a un árbol, tras cabalgar, para que lo recoja el otro, y continua a pie. De esta forma llegan a la mitad del camino al mismo tiempo, donde reposan media hora y repiten después la misma combinación para llegar simultáneamente al final del trayecto. ¿A qué hora llegarán a su destino si salieron a las 6 de la mañana?
29. RETRASO EN LA ENTREGA.
El encargado de transportes de la sociedad estaba de mal humor. «No voy a poder enviar a tiempo el cargamento. Tengo dos camiones averiados, y como se me han llevado todos los demás, excepto uno, con éste solamente me retrasaré mucho. Si no me hubiesen retirado el resto de la flota de camiones hubiese tardado 8 días, uno más de lo previsto inicialmente, con la totalidad de los camiones, esto es, incluidos los dos averiados. Pero, insisto, con un solo camión me retrasaré… muchas semanas». ¿Cuántas semanas se retrasará?
30. CUESTA ABAJO EN MI RODADA.
Dos pueblos se hallan a una distancia de 10 Km y la carretera que los une es llana, por lo que un automóvil se traslada de uno a otro con velocidad uniforme de 80 km/h, tardando una hora y cuarto en hacer el recorrido. Otros dos pueblos se encuentran, asimismo, a 100 km de distancia, pero 50 son de subida y 50 de bajada, por lo que el mismo automóvil recorre los primeros a 40 km/h y los segundos a 120 km/h. ¿Tardará más o menos en hacer este recorrido que en el primer caso? ¿O tardará igual?
31. UNA CIUDAD CON TRANVÍAS.
Un hombre camina a una velocidad de 6 km/h a lo largo de una calle, por la que circula una cierta línea de tranvías, y cuenta que mientras 4 tranvías le adelantan, 6 se cruzan con él. Suponiendo que el espaciado entre tranvías, así como su velocidad, son uniformes, calcula la velocidad de los tranvías.
32. EL NADADOR EN EL RÍO.
Un nadador tarda 10 minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra corriente, tarda 30 minutos. ¿Cuánto tardaría si no hubiese corriente alguna?
33. VAYA CAMINATA.
Dos ancianas comienzan a andar al amanecer a velocidad constante. Una marcha de A a B y la otra de B a A. Se encuentran a mediodía y, sin parar, llegan respectivamente a B a las 4 de la tarde y a A a las 9 de la noche. ¿Cuándo amaneció aquel día?
34. LUCAS Y SU PAPÁ.
El papá de Lucas lo espera todos los días a la salida de la escuela y lo lleva en auto a la casa. Ayer las clases
terminaron 1 hora antes y como Lucas no le pudo avisar al padre, empezó a caminar hacia su casa hasta que se encontró con su padre. Tardó 1 minuto en subir al auto y girar. Con todo esto, llegó a su casa 9 minutos más temprano que de costumbre. El papá de Lucas maneja siempre a 55 km/h. ¿A qué velocidad camina Lucas?
35. EL ATLETA MATUTINO.
Un atleta sale a correr en su práctica matutina y lo hace a velocidad constante. A las 9:00 horas ha cubierto 1/6 de la distancia total y a las 11:00 horas le falta cubrir 1/3 del total. ¿Qué fracción de la distancia ha recorrido a las 10:30 horas?
36. LA VUELTA A LA MANZANA.
Diego dio una vuelta a una manzana de base cuadrada: Por el primer lado caminó a 4 km/h, por el siguiente caminó a 5 km/h, por el tercero trotó a 10 km/h y por el cuarto corrió a 20 km/h. ¿Cual fue la velocidad promedio de la vuelta completa?
37. DESAFÍO 1.
Un ómnibus con turistas sale de Perdiz Renga en dirección norte. Viaja a 50 km/h y no se detiene hasta llegar a Liebre Tuerta. Otro ómnibus, sale de Perdiz Renga dos horas más tarde que el primero y viaja a 65 km/h. Este ómnibus llega a Liebre Tuerta al mismo tiempo que el primero. ¿Qué distancia hay entre Perdiz Renga y Liebre Tuerta?
38. LOS MARATONIANOS Y EL ENTRENADOR.
Una fila de maratonianos, de 1 km de largo, trota (uno detrás del otro) a lo largo de una larguísima playa, a velocidad constante. Desde el fondo de la fila, sale corriendo a velocidad constante el entrenador hasta alcanzar al primero de fila, hecho lo cual vuelve hasta el último puesto. En ese tiempo, la fila avanzó 1 km, o sea que el último hombre ocupa la posición que ocupaba el primero al empezar la carrera del entrenador. ¿Cuántos metros corrió el entrenador?
39. LA CORRIENTE DEL RÍO.
Un barco se desplaza 5 horas sin interrupción río abajo entre dos ciudades. De vuelta, avanza contracorriente (con su marcha ordinaria y sin detenerse) durante 7 horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?
40. LA PALOMA Y LOS DOS TRENES.
dos trenes avanzan en direcciones contrarias por vías contiguas: uno a 70, y el otro, a 50 kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma vuela de la locomotora del primer tren al segundo, nada más llegar da media vuelta y regresa a la del primero, y así va volando de locomotora en locomotora. Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inició su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido la paloma cuando los dos trenes se encuentran?
Ayuda: ¿Cuánto tiempo ha estado volando la paloma?
41. LOS TRENES QUE SE CRUZAN.
Cada hora sale un tren de la ciudad A a la ciudad B y otro de B a A, y todos los trenes tardan 5 horas en cubrir la distancia entre ambas ciudades. Un viajero que tome uno cualquiera de los trenes, ¿con cuántos trenes se cruzará a lo largo de su viaje? Ayuda: Imagínese al viajero saliendo de A. En ese momento llega un tren de B.
42. EL TREN PUNTUAL.
Mi tren sale a las diez en punto. Si voy a la estación caminando a una velocidad de 4 kilómetros por hora, llego cinco minutos tarde. Si voy corriendo, a 8 kilómetros por hora, llego con diez minutos de adelanto. ¿A qué distancia estoy de la estación? Ayuda: Yendo al doble de velocidad se tarda quince minutos menos.
43. EL CICLISTA PLAYERO.
Un esforzado ciclista se dirige desee una población del interior a la playa, cuesta abajo, a una velocidad de 30 km/h. Al volver a su casa, cuesta arriba, va a 10 km/h. ¿Cuál es la velocidad media del ciclista en el trayecto de ida y vuelta? Ayuda: Téngase en cuenta que tarda más en volver que en ir; luego la velocidad media es simplemente la media de las velocidades.
numero natural:los numeros con los que contamos (tambien se les llama enteros positivos) { 1,2,3,4....}
numeros enteros: conjunto de todos los numeros naturales con sus opuestos ( negativos ) y el cero (0) {-2,-1,0,1,2}
numeros racionales: conjunto formado con todos los numeros que se pueden escribir en la forma: m/n (con decimales )
numeros reales: todos los racionales e irracionales ( con decimales no repetitivos )
numero: es cada uno de los entes abtractos que forma una serie ordenada y que indica la cantidad de elementos de un conjunto.
numero primo: es un entero positivo y que solo se pued dividir entre si mismo y la unidad.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
triconomia: para dos numeros reales cualquieraa y b , solo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
a›b
a=b
a‹b
Simetría: las relaciones de inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto: para dos números reales, a y b:
Si a › b entonces b ‹ a
Si a ‹ b entonces b › a
Adición y sustracción: para tres números reales a, b y c :
Si a ›b entonces a +c › b +c y a-c › b-c.
Si a‹b entonces a+ c ‹ b+ c y a-c ‹ b-c
Multiplicación y división: para tres números reales a, b y c.
Si c es positivo y a › b, entonces a x c › b x c y a/c› b/c.
Si c es positivo y a ‹ b entonces a x c ‹ b x c y a/c ‹ b/c.
Si c es negativo y a › b entonces a x c ‹ b x c y a/c ‹ b/c.
Si c es negativo y a › b, entonces a x c › b x c y a/c› b/c.
a›b
a=b
a‹b
Simetría: las relaciones de inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto: para dos números reales, a y b:
Si a › b entonces b ‹ a
Si a ‹ b entonces b › a
Adición y sustracción: para tres números reales a, b y c :
Si a ›b entonces a +c › b +c y a-c › b-c.
Si a‹b entonces a+ c ‹ b+ c y a-c ‹ b-c
Multiplicación y división: para tres números reales a, b y c.
Si c es positivo y a › b, entonces a x c › b x c y a/c› b/c.
Si c es positivo y a ‹ b entonces a x c ‹ b x c y a/c ‹ b/c.
Si c es negativo y a › b entonces a x c ‹ b x c y a/c ‹ b/c.
Si c es negativo y a › b, entonces a x c › b x c y a/c› b/c.
Ejercicios
1. 5x/2 ‹ 20
5x ‹ 20(2)
5x ‹ 40
X‹40/5
x‹ 8
2. 10x = 50
X=50/10
X=5
3. 5x+2 ‹ x-6
5x-x ‹-6-2
6x ‹ -8
x‹ -8/6
x‹ -4/3
1. 5x/2 ‹ 20
5x ‹ 20(2)
5x ‹ 40
X‹40/5
x‹ 8
2. 10x = 50
X=50/10
X=5
3. 5x+2 ‹ x-6
5x-x ‹-6-2
6x ‹ -8
x‹ -8/6
x‹ -4/3
sistema de ecuaciones 2x2 y 3x3
por determinantes:
ejemplos
1.-don Renato tiene 37 animales entre conejos y gallinas, que sumando sus patas nos dan 100. Cuantos conejos y gallinas tiene?
2.
ECUACIONES LINEALES 3X3
ejemplos
1.-don Renato tiene 37 animales entre conejos y gallinas, que sumando sus patas nos dan 100. Cuantos conejos y gallinas tiene?
2.
ECUACIONES LINEALES 3X3
Fracciones complejas:
1) 10 2/3 + 4/3= 32/3+4/3= 36/3=12
Encontrar el valor de :
2) 10 1/3 –x+7/3= 1/3
X=37/3=12 1/3
1) 10 2/3 + 4/3= 32/3+4/3= 36/3=12
Encontrar el valor de :
2) 10 1/3 –x+7/3= 1/3
X=37/3=12 1/3
Calcular el valor del ángulo 0 de la sig figura:
h= 30` + 2g
H+g=180
30+2g+g=180-30
3g=150
G= 150/3=50`
H+g=180
30+2g+g=180-30
3g=150
G= 150/3=50`
Calcular el lado ac
Funciones trigonométricas:
Sen= co/Hip
Cos= ca/Hip
Tan= co/Ca
Cot= ca/Co
Sec= hip/Ca
Csc= hip/ Co
Sen= co/Hip
Cos= ca/Hip
Tan= co/Ca
Cot= ca/Co
Sec= hip/Ca
Csc= hip/ Co
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